1. abs(s)#

절대값을 반환한다.

abs(-2);
>>> 2

abs(3);
>>> 3

2. acos(s)#

아크코사인(arccosine) 값을 반환한다.
[-1, +1] 사이의 값을 입력받아 [0, $\pi$] 사이의 값을 반환. 즉, $\cos$ 값$\big(\frac{밑변}{빗변}\big)$의 값이 들어가면 라디안($\theta$) 값이 나온다.

아래 예시는 acos 메소드로 출력한 결과이다.

acos(0.2);
>>> 1.3694384

3. all(s)#

모든 값이 true일 때, true를 반환한다. bool 타입의 스칼라나 벡터만 인자로 넣을 수 있다.
아래와 같은 기능을 한다.

bool all(bool4 a) {
    return a.x && a.y && a.z && a.w;
}

/*-----------사용예시-------------*/

bool3 b3 = new bool3(true, true, true);
bool all = all(b3);

print(all));
>>> true

4. any(s)#

값 중 하나라도 true라면, true를 반환한다.
아래와 같은 기능을 한다.

bool any(bool4 a) {
    return a.x || a.y || a.z || a.w;
}

5. asin(s)#

아크사인(arcsine) 값을 반환한다.
[-1, +1] 사이의 값을 입력받아 [$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$] 사이의 값을 반환. 즉, $\sin$ 값$\big(\frac{높이}{빗변}\big)$의 값이 들어가면 라디안($\theta$) 값이 나온다.

아래 예시는 asin 메소드로 출력한 결과이다.

asin(0.5);
>>> 0.5235988  // (= 30도)

6. atan(x)#

아크탄젠트(arctangent) 값을 반환한다.
[-$\infty$, +$\infty$] 사이의 값을 입력받아 [$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$] 사이의 값을 반환. 즉, $\tan$ 값$\big(\frac{높이}{밑변}\big)$의 값이 들어가면 라디안($\theta$) 값이 나온다.
비율을 인자로써 넣기 때문에 좌표평면에서 x가 0인 경우에는 사용할 수 없다. y를 0으로 나눌 수 없기 때문이다.

아래 예시는 atan 메소드로 출력한 결과이다.

atan(0.2);
>>> 0.19739556

7. atan2(y, x)#

여섯번 째의 atan 메서드와 비슷한 개념이다.

다른 점은 atan2 메서드는 [-$\pi$, $\pi$]까지 반환하는 것과 x가 0인 경우에도 동작한다. atan 메서드에서는 비율만을 받아 사분면 정보를 알 수 없었지만, atan2 메서드에서는 y와 x를 개별적으로 입력받아 사분면, 즉, 방향을 계산할 수 있다.

아래는 결과를 비교해볼 수 있는 코드이다.

float y = 1;
float x = -1;
float radians = atan(y / x);      // 약 -0.785 라디안 (= -45도)
float degrees = degrees(radians); // -45도 (실제로는 135도이어야 함)

print(degrees);
>>> -45

x가 -1이고, y가 1이라면 제2사분면에 위치해있음을 알 수 있다. 하지만 실제 출력값은 -45도이다. 엉뚱하게 제4사분면을 가르킨 것이다. ratio 만으로는 제2사분면인지 제4사분면인지 값만으로는 구분할 수 없다. (둘 다 음수값이기만 하다)

따라서 방향을 정확히 하고 싶은 경우에는 아래와 같이 atan2 메소드를 이용해야 한다.

float y = 1;
float x = -1;
float radians = atan2(y, x);      // 약 2.356 라디안 (= 135도)
float degrees = degrees(radians); // 135도

print(degrees);
>>> 135

마지막으로, 위 내용을 잘 설명한 사진을 첨부한다.

Atan2 differs from arctan by Jacob Rus, CC BY-SA 4.0

8. ceil(x)#

천장 함수이다. 실수 x의 소수 부분이 있다면 일의 자리를 올림하고 소수점 이하는 버린다.

ceil(1.4);
>>> 2

ceil(0.001);
>>> 1

소수점 이하의 값이 얼마나 작던 값이 존재하면 바로 올림을 하는 무서운 함수이다.

9. clamp(x, a, b)#

x의 값을 a와 b 사이의 값으로 한정시킨다.

• x $\le$ a 라면, a를 반환한다.
• a $\lt$ x $\lt$ b 라면, x를 반환한다.
• x $\ge$ b 라면, b를 반환한다.

clamp(10, 20, 40);  // 10이 20보다 작으므로, 20반환
>>> 20

clamp(30, 20, 40);  // 30이 20과 40 사이에 있으므로, 30 반환
>>> 30

clamp(50, 20, 40);  // 50이 40을 넘으므로, 40 반환
>>> 40

10. cos(x)#

코사인(cosine) 값을 반환한다. 인자로 라디안 값을 입력하면, $[-1, +1]$ 사이의 값을 반환한다.

float radians = radians(45);
float cos = cos(radians);

print(cos);  
>>> 0.7071067   // (= sqrt(2) / 2)

11. cosh(x)#

쌍곡코사인(hyperbolic cosine) 값을 반환한다.

정의는 다음과 같다.

• $\large \cosh (x) = \frac {\large e^x + e^{-x}} {\large2}$

아래 예시는 cosh 메소드로 출력한 결과이다.

cosh(0);  // 쌍곡코사인 함수의 그래프는 (0, 1)을 지난다.
>>> 1

12. cross(a, b)#

두 개의 성분이 3개인 실수형 벡터(이하 ‘3차원 벡터’)를 인수로 받고 두 벡터의 외적 값을 반환한다. 스칼라 형태로 반환되는 내적(dot) 연산과는 달리 벡터 형태로 출력된다.

아래는 외적에 관한 애니메이션이다.

Cross product by Lucas Vieira, Public Domain

외적의 결과로 만들어지는 벡터는 a와 b와 직교한다. 오른손 법칙(반시계방향)에 따라 방향성이 결정된다. 외적 연산에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. ( $a \times b \neq b \times a$ )
즉, 인자의 a와 b의 순서를 바꾸면 다른 값이 나온다.

13. degrees(x)#

입력된 라디안 값을 각도 값으로 변환하는 함수이다.

degrees(Mathf.PI);
>>> 180

14. determinant(m)#

행렬식 값을 반환하는 함수이다. 2x2, 3x3, 4x4 행렬 타입의 변수를 인자로 받는다. 실수 스칼라 값을 반환한다.

float2 f2 = new float2(2, 3);
float2 f21 = new float2(4, 3);
float2x2 f2x2 = new float2x2(f2, f21);

float det = determinant(f2x2);

print(det);
>>> -6

15. dot(a, b)#

두 값의 내적 값을 반환하는 함수이다.

정의는 아래와 같다.

• $\vec a \cdot \vec b = \sum a_i b_i$

아래는 예시는 dot 메소드로 출력한 결과이다.

float3 a = new float3(3, 1, 2);
float3 b = new float3(2, 6, 1);

float dot = dot(a, b);

print(dot);
>>> 14

출력 값은 방향을 가지지 않는 스칼라 값임에 유의해야 한다.

16. exp(x)#

$e ^ x$ 값을 반환하는 함수이다.

exp(0);
>>> 1

17. exp2(x)#

$2 ^ x$ 값을 반환하는 함수이다.

exp2(2);
>>> 4

18. floor(x)#

바닥함수이다. 실수 x의 소수 부분이 있다면 소수점 이하는 버린다.

floor(3.14);
>>> 3

floor(0.002);
>>> 0

19. fmod(x, y)#

부동 소수점의 나머지 값을 반환하는 함수이다.

fmod(-3.2, 2.5);
>>> -0.7

내부는 다음과 같이 구현되어 있다.

float2 fmod(float2 a, float2 b) {
  float2 c = frac(abs(a/b))*abs(b);
  return (a < 0) ? -c : c;   /* if ( a < 0 ) c = 0-c */
}

20. isfinite(x)#

수가 유한수인지 판별하는 함수이다. 무한한 수나 NaN(Not a Number)가 아니라면 true를 반환한다.

아래는 Unity3D에서의 예시이다.

isfinite(float.MaxValue);
>>> true

isfinite(float.PositiveInfinity);
>>> false

무한과 NaN을 만드는 예시는 아래와 같다. NaN에 관해 설명한 위키백과 링크를 첨부한다. NaN (위키백과)

// 양의 무한대
float posInf = 1.0 / 0.0;

// 음의 무한대
float negInf = -1.0 / 0.0;

// NaN (Not a Number)
float nanValue = 0.0 / 0.0;

내부는 다음과 같이 정의되어 있다.

bool3 isfinite(float3 s)
{
  // By IEEE 754 rule, 2*Inf equals Inf
  return (s == s) && ((s == 0) || (s != 2*s));
}

21. isinf(x)#

isfinite와 반대로 무한인지 판별하는 함수이다. 유한한 값이나 NaN(Not a Number)가 아니라면 true를 반환한다.

NaN은 isfinite나 isinf 메소드 둘 다 false만 나온다. 그렇지만.. NaN을 마주칠 일이 있을까..?

22. ldexp(x, n)#

본 메소드의 수식은 다음과 같다.

• $\text{ldexp(x)} = \text{x} \times (2^n)$

아래는 예시이다. Mathematics 패키지에서는 ldexp를 제공하지 않는다.

ldexp(1.5, 2);
>>> 48

23. lerp(a, b, f)#

a와 b 두 값 사이를 선형보간한다.

a*(1-f) + b*f 와 동일하게 쓸 수 있다.

lerp(1, 2, 0.7)
>>> 0.7

24. log(x)#

자연로그와 같은 값을 도출하는 함수이다.

• $\text{log(x)} = \log_e(x)$

다음과 같이 정의되어 있다.

float3 log(float3 a)
{
  float3 rv;
  int i;

  for (i=0; i<3; i++) {
    rv[i] = log(a[i]);  // this is the ANSI C standard library log()
  }
  return rv;
}

25. log2(x)#

밑이 2인 로그와 같은 값을 도출하는 함수이다.

• $\text{log(x)} = \log_2(x)$

26. log10(x)#

밑이 10인 로그와 같은 값을 도출하는 함수이다.

• $\text{log(x)} = \log_10(x)$

27. max(a, b)#

입력된 두 값 중 더 큰 값을 반환한다.

다음과 같이 구현되어 있다.

float3 max(float3 a, float3 b)
{
  return float3(a.x > b.x ? a.x : b.x,
                a.y > b.y ? a.y : b.y,
                a.z > b.z ? a.z : b.z);
}

28. min(a, b)#

입력된 두 값 중 더 작은 값을 반환한다.

29. modf(x, out ip)#

나머지 값을 반환하지만, 반환 방식이 조금 특이하다.

우선 아래의 예시를 먼저 보자.

float2 number = new float2(3.14, 2.71);
float2 integerPart;
float2 fractionalPart = modf(number, integerPart);

print(integerPart.x, integerPart.y);
>>> 3, 2

print(fractionalPart.x, fractionalPart.y);
>>> 0.14, 0.71

modf 메소드는 나머지 연산 결과의 소수 부분을 반환한다.
그리고 modf 메소드의 두 번째 인자에 정수 부분을 담아서 보낸다.

30. mul(M, N)#

행렬과 행렬 간 곱셈한 값을 반환한다.

정의는 다음과 같다.
$(MN)_{ij} = \sum m_{ik}n_{kj}$

곱셈은 두 행렬이 $i \times k$와 $k \times j$와 같이 M의 열과 N의 행의 크기가 같은 경우에만 수행된다.

31. mul(v, M)#

벡터와 행렬 간 곱셈한 값을 반환한다.
벡터와 행렬의 인자 순서가 바뀌면 반환되는 행렬의 크기가 바뀔 수 있기 때문에, 둘은 구분하여 사용해야 한다.

$\begin{pmatrix} X & Y & Z & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} X & Y & Z & Xx + Yy + Zz + 1 \end{pmatrix}$

32. mul(M, v)#

벡터와 행렬 간 곱셈한 값을 반환한다.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X + x \\ Y + y \\ Z + z \\ 1 \end{pmatrix}$

스케일링(Scaling)도 만들어볼 수 있다.
점(혹은 벡터)를 $(S_x, S_y, S_z)$ 만큼 스케일링 하고 싶을 때 사용한다. 이때 사용되는 행렬을 ‘Scale Matrix’라고 한다.

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X * S_x \\ Y * S_y \\ Z * S_z \\ 1 \end{pmatrix}$

마지막으로 회전이다. 회전은 x축, y축, z축 각각 적용하는 행렬이 다르다.

• x축 기준 회전
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \\ 1 \end{pmatrix}$
• y축 기준 회전
  $\begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \\ 1 \end{pmatrix}$
• z축 기준 회전
  $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \\ 1 \end{pmatrix}$

축을 기준으로 회전한다면 회전하려는 물체의 중심이 원점에 위치해야 한다.
그러므로 물체의 중심이 원점에 있지 않다면

1. Translation으로 물체의 중심을 원점으로 이동
2. 원하는 축 회전
3. 과정 1에서 옮긴 만큼 다시 되돌려 원위치

총 세 절차에 따라 회전을 시킬 수 있다.

33. pow(x, y)#

x를 y승한 값을 반환한다.

정의는 다음과 같다.
$\text {pow(x,y)} = x ^ y$

우리가 아는 그대로겠지만, 문서에 따르면 log과 exp 연산을 통해 구현한 것 같다.
관련해서 풀이한 위키백과 페이지를 링크한다. Exponentiation (위키백과)

자연로그의 성질을 이용하면 다음과 같이 표현이 되므로.. 사실상 같은 식이지만 말이다.
$x ^ y = (e ^ {log_e (x)}) ^ y = e ^ {y \cdot \ln(x)}$

관련해서 탐색을 해보았지만, 아쉽게도 명확한 답을 얻을 수 없었다.

pow(2, 3);
>>> 8

x에 2, y에 3을 넣으면 8이 나온다.

34. radians(x)#

각도 값(60진법)을 넣었을 때 라디안 값(호도법)으로 변환하여 반환한다.

radians(180);
>>> 3.141592

35. round(x)#

반올림한 값을 반환한다.

단, 계산의 편리함을 위해서 반올림 함수는 ‘round-to-nearest even’과 ‘round-to-nearest’ 두 가지로 구분한다. ‘round-to-nearest even’은 04는 버림, 69는 올림한다. 그리고 5의 경우에는 짝수에 가까운 값으로 반올림 한다.

예시는 다음과 같다.

round(7 / 2)  // = 3.5, 3보다는 짝수인 4로
>>> 4

round(9 / 2)  // = 4.5, 5보다는 짝수인 4로
>>> 4

계산을 편리하게 하기 위함으로 알고 있다.

‘round-to-nearest’ 방식은 0.5를 더한 후 floor 메소드로 계산하는 방식이다. 흔히 일컫는 사사오입이다. 4.5같은 수는 위와 달리 4가 아닌 5를 반환한다.

[의문점]
근데.. 그럼 둘을 어떻게 구분하여 사용하는가?

36. rsqrt(x)#

x의 제곱근의 역수를 반환한다.

정의는 다음과 같다.
$\text{rsqrt(x)} = \frac {\large 1} {\large \sqrt{x}}$

rsqrt(2);
>>> 0.70710677

37. saturate(x)#

입력 값을 0~1 사이 값으로 잘라낸다. clamp(x, 0, 1)과 동일한 기능을 한다.

38. sign(x)#

부호에 따라 x의 값이 음수이면 -1, 양수라면 1, 0이면 0을 반환한다.

sign(-2.1);
>>> -1

sign(0);
>>> 0

sign(3.14);
>>> 1

39. sin(x)#

사인(sine) 값을 반환한다. 인자로 라디안 값을 입력하면, $[-1, +1]$ 사이의 값을 반환한다.

sin(Mathf.PI / 2);  // sin 90도는 입력 제한을 두지 않았거나, 특수 처리를 한 것으로 보임
>>> 1

sin(Mathf.PI);
>>> -8.742278E-08   // 부동소수점 계산의 문제로 보임

40. sincos(x, out s, out c)#

사인(sine) 값과 코사인(cosine) 값을 반환한다.
입력으로 라디안 값을 주면 인자 s와 c에 각각 sin(a)와 cos(a)를 담아준다.

41. sinh(x)#

쌍곡사인(hyperbloic sin) 값을 반환한다.

정의는 다음과 같다.

• $\large \sinh (x) = \frac {\large e^x - e^{-x}} {\large2}$

42. smoothstep(min, max, x)#

0과 1 사이로 매핑해서 반환한다. min보다 x가 작다면 0이, max보다 크다면 1이 반환된다.

먼저 clamp 메소드와 비슷한 처리 후에
value = (x - min) / (max - min)을 하여 값을 압축하고 lerp 메소드와 같이 선형보간을 한다.

구현과 사용 예는 아래와 같다.

float smoothstep(float min, float max, float x)
{
    if (x < min) return 0.0;
    if (x > max) return 1.0;

    float t = (x - min) / (max - min);
    t = t * t * (3.0 - 2.0 * t);

    return t;
}

/*-----사용예시-----*/
smoothstep(10.0, 20.0, 12.5);
>>> 0.156

43. setp(a, x)#

계단함수와 같은 값을 반환한다.

만약 x가 a보다 크다면 1을, 작다면 0을 반환한다.

step(0.5 0.1);
>>> 0

step(0.5, 0.55);
>>> 1

44. tan(x)#

탄젠트(tan) 값을 반환한다.

sincos 메소드를 이용해 구현할 수 있다.

float tan(float a) {
  float s, c;
  sincos(a, s, c);
  return s / c;
}

45. tanh(x)#

쌍곡탄젠트(hyperbloic tangent) 값을 반환한다.

정의는 다음과 같다.

• $\large \tanh (x) = \frac {\large \sinh(x)} {\large \cosh(x)}$

46. transpose(m)#

벡터나 행렬의 열과 행을 바꾸어 반환한다.
즉, 전치행렬을 반환한다.

$n \times m$행렬이 인자로 들어왔다면, $m \times n$행렬로 반사 대칭한다.

아래는 mul 메소드와 transpose 메소드의 관계이다.

mul(M,v) == mul(v, tranpose(M))
mul(v,M) == mul(tranpose(M), v)